Сложение систем счисления онлайн - TurboComputer.ru
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд (пока оценок нет)
Загрузка...

Сложение систем счисления онлайн

Восьмеричный калькулятор онлайн

Калькулятор может производить следующие действия:

Сложение в восьмеричной системе счисления

Сложение двух восьмеричных чисел производится столбиком, как и в десятичной системе, но по следующим правилам:

+1234567
1234567
1123456710
22345671011
334567101112
4456710111213
55671011121314
667101112131415
7710111213141516

Пример

Для примера сложим 777 и 15:

+777
15
114

Вычитание в восьмеричной системе счисления

Вычитание восьмеричных чисел производится столбиком. Правила вычитания обратны правилам сложения (см. таблицу выше).

Пример

Для примера вычтем из числа 1014 число 777:

114
777
15

Умножение чисел в восьмеричной системе счисления

Умножение восьмеричных чисел производится в столбик по следующим правилам:

×1234567
11234567
224610121416
3361114172225
44101420243034
55121724313643
66142230364452
77162534435261

Пример

Для примера перемножим числа 777 и 15:

×777
15
+4773
777
14763

Деление чисел в восьмеричной системе счисления

Деление восьмеричных чисел выполняется по тому же принципу, что и деление десятичных, например:

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Данный конвертер переводит числа между наиболее популярными системами счисления: десятичной, двоичной, восьмеричной, шестнадцатеричной.

Система счисления – это способ представления числа. Одно и то же число может быть представлено в различных видах. Например, число 200 в привычной нам десятичной системе может иметь вид 11001000 в двоичной системе, 310 в восьмеричной и C8 в шестнадцатеричной.

Существуют и другие системы счисления, но мы не стали включать их в конвертер из-за низкой популярности.

Для указания системы счисления при записи числа используется нижний индекс, который ставится после числа:
20010 = 110010002 = 3108 = C816

Кратко об основных системах счисления

Десятичная система счисления. Используется в повседневной жизни и является самой распространенной. Все числа, которые нас окружают представлены в этой системе. В каждом разряде такого числа может использоваться только одна цифра от 0 до 9.

Двоичная система счисления. Используется в вычислительной технике. Для записи числа используются цифры 0 и 1.

Восьмеричная система счисления. Также иногда применяется в цифровой технике. Для записи числа используются цифры от 0 до 7.

Шестнадцатеричная система счисления. Наиболее распространена в современных компьютерах. При помощи неё, например, указывают цвет. #FF0000 – красный цвет. Для записи числа используются цифры от 0 до 9 и буквы A,B,C,D,E,F, которые соответственно обозначают числа 10,11,12,13,14,15.

Перевод в десятичную систему счисления

Преобразовать число из любой системы счисления в десятичную можно следующим образом: каждый разряд числа необходимо умножить на X n , где X – основание исходного числа, n – номер разряда. Затем суммировать полученные значения.

Перевод из десятичной системы счисления в другие

Делим десятичное число на основание системы, в которую хотим перевести и записываем остатки от деления. Запишем полученные остатки в обратном порядке и получим искомое число.

Переведем число 37510 в восьмеричную систему:

Перевод из двоичной системы в восьмеричную

Для перевода в восьмеричную систему нужно разбить двоичное число на группы по 3 цифры справа налево. В последней (самой левой) группе вместо недостающих цифр поставить слева нули. Для каждой полученной группы произвести умножение каждого разряда на 2 n , где n – номер разряда.

Так же как и в первом способе разбиваем число на группы. Но вместо преобразований в скобках просто заменим полученные группы (триады) на соответствующие цифры восьмеричной системы, используя таблицу триад:

Триада000001010011100101110111
Цифра1234567

Перевод из двоичной системы в шестнадцатеричную

Разбиваем число на группы по 4 цифры справа налево. Последнюю (левую) группу дополним при необходимости ведущими нулями. Внутри каждой полученной группы произведем умножение каждой цифры на 2 n , где n – номер разряда, и сложим результаты.

Также как и в первом способе разбиваем число на группы по 4 цифры. Заменим полученные группы (тетрады) на соответствующие цифры шестнадцатеричной системы, используя таблицу тетрад:

Тетрада0000000100100011010001010110011110001001101010111100110111101111
Цифра123456789ABCDEF

Перевод из восьмеричной системы в двоичную

Каждый разряд восьмеричного числа будем делить на 2 и записывать остатки в обратном порядке, формируя группы по 3 разряда двоичного числа. Если в группе получилось меньше 3 разрядов, тогда дополняем нулями. Записываем все группы по порядку, отбрасываем ведущие нули, если имеются, и получаем двоичное число.

Используем таблицу триад:

Цифра1234567
Триада000001010011100101110111

Каждую цифру исходного восьмеричного числа заменяется на соответствующие триады. Ведущие нули самой первой триады отбрасываются.

Перевод из шестнадцатеричной системы в двоичную

Аналогично переводу из восьмеричной в двоичную, только группы по 4 разряда.

Используем таблицу тетрад:

Цифра123456789ABCDEF
Тетрада0000000100100011010001010110011110001001101010111100110111101111

Каждую цифру исходного числа заменяется на соответствующие тетрады. Ведущие нули самой первой тетрады отбрасываются.

Перевод из восьмеричной системы в шестнадцатеричную и наоборот

Такую конвертацию можно осуществить через промежуточное десятичное или двоичное число. То есть исходное число сначала перевести в десятичное (или двоичное), и затем полученный результат перевести в конечную систему счисления.

Перевод чисел из одной системы счисления в другую онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно перевести целые и дробные числа из одной системы счисления в другую. Дается подробное решение с пояснениями. Для перевода введите исходное число, задайте основание сисемы счисления исходного числа, задайте основание системы счисления, в которую нужно перевести число и нажмите на кнопку “Перевести”. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Предупреждение

Перевод целых и дробных чисел из одной системы счисления в любую другую − теория, примеры и решения

Существуют позиционные и не позиционные системы счисления. Арабская система счисления, которым мы пользуемся в повседневной жизни, является позиционной, а римская − нет. В позиционных системах счисления позиция числа однозначно определяет величину числа. Рассмотрим это на примере числа 6372 в десятичном системе счисления. Пронумеруем это число справа налево начиная с нуля:

число6372
позиция321

Тогда число 6372 можно представить в следующем виде:

6372=6000+300+70+2 =6·10 3 +3·10 2 +7·10 1 +2·10 0 .

Число 10 определяет систему счисления (в данном случае это 10). В качестве степеней взяты значения позиции данного числа.

Рассмотрим вещественное десятичное число 1287.923. Пронумеруем его начиная с нуля позиции числа от десятичной точки влево и вправо:

число1287.923
позиция321-1-2-3

Тогда число 1287.923 можно представить в виде:

1287.923 =1000+200+80 +7+0.9+0.02+0.003 = 1·10 3 +2·10 2 +8·10 1 +7·10 0 +9·10 -1 +2·10 -2 +3·10 -3 .

В общем случае формулу можно представить в следующем виде:

где Цn-целое число в позиции n, Д-k– дробное число в позиции (-k), s – система счисления.

Несколько слов о системах счисления.Число в десятичной системе счисления состоит из множества цифр <0,1,2,3,4,5,6,7,8,9>, в восьмеричной системе счисления – из множества цифр <0,1,2,3,4,5,6,7>, в двоичной системе счисления – из множества цифр <0,1>, в шестнадцатеричной системе счисления – из множества цифр <0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F>, где A,B,C,D,E,F соответствуют числам 10,11,12,13,14,15.

В таблице Таб.1 представлены числа в разных системах счисления.

Таблица 1
Система счисления
102816
1111
21022
31133
410044
510155
611066
711177
81000108
91001119
10101012A
11101113B
12110014C
13110115D
14111016E
15111117F

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Для перевода чисел с одной системы счисления в другую, проще всего сначала перевести число в десятичную систему счисления, а затем, из десятичной системы счисления перевести в требуемую систему счисления.

Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную систему счисления

С помощью формулы (1) можно перевести числа из любой системы счисления в десятичную систему счисления.

Пример 1. Переводить число 1011101.001 из двоичной системы счисления (СС) в десятичную СС. Решение:

1·2 6 + 0 ·2 5 + 1·2 4 + 1·2 3 + 1·2 2 + 0·2 1 + 1·2 0 + 0·2 -1 + 0·2 -2 + 1·2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93.125

Пример 2. Переводить число 1011101.001 из восьмеричной системы счисления (СС) в десятичную СС. Решение:

Пример 3. Переводить число AB572.CDF из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную СС. Решение:

Здесь A -заменен на 10, B – на 11, C– на 12, F – на 15.

Перевод чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления

Для перевода чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления нужно переводить отдельно целую часть числа и дробную часть числа.

Целую часть числа переводится из десятичной СС в другую систему счисления – последовательным делением целой части числа на основание системы счисления (для двоичной СС – на 2, для 8-ичной СС – на 8, для 16-ичной – на 16 и т.д.) до получения целого остатка, меньше, чем основание СС.

Пример 4. Переведем число 159 из десятичной СС в двоичную СС:

1592
158792
178392
138192
11892
1842
1422
21

Как видно из Рис. 1, число 159 при делении на 2 дает частное 79 и остаток 1. Далее число 79 при делении на 2 дает частное 39 и остаток 1 и т.д. В результате построив число из остатков деления (справа налево) получим число в двоичной СС: 10011111. Следовательно можно записать:

Пример 5. Переведем число 615 из десятичной СС в восьмеричную СС.

6158
608768
77298
481
1

При приведении числа из десятичной СС в восьмеричную СС, нужно последовательно делить число на 8, пока не получится целый остаток меньшее, чем 8. В результате построив число из остатков деления (справа налево) получим число в восьмеричной СС: 1147(см. Рис. 2). Следовательно можно записать:

Пример 6. Переведем число 19673 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную СС.

1967316
19664122916
912167616
13644
12

Как видно из рисунка Рис.3, последовательным делением числа 19673 на 16 получили остатки 4, 12, 13, 9. В шестнадцатеричной системе счисления числе 12 соответствует С, числе 13 – D. Следовательно наше шестнадцатеричное число – это 4CD9.

Далее рассмотрим перевод правильных десятичных дробей в двоичную СС, в восьмеричную СС, в шестнадцатеричную СС и т.д.

Для перевода правильных десятичных дробей (вещественное число с нулевой целой частью) в систему счисления с основанием s необходимо данное число последовательно умножить на s до тех пор, пока в дробной части не получится чистый нуль, или же не получим требуемое количество разрядов. Если при умножении получится число с целой частью, отличное от нуля, то эту целую часть не учитывать (они последовательно зачисливаются в результат).

Рассмотрим вышеизложенное на примерах.

Пример 7. Переведем число 0.214 из десятичной системы счисления в двоичную СС.

0.214
x2
0.428
x2
0.856
x2
10.712
x2
10.424
x2
0.848
x2
10.696
x2
10.392

Как видно из Рис.4, число 0.214 последовательно умножается на 2. Если в результате умножения получится число с целой частью, отличное от нуля, то целая часть записывается отдельно (слева от числа), а число записывается с нулевой целой частью. Если же при умножении получиться число с нулевой целой частью, то слева от нее записывается нуль. Процесс умножения продолжается до тех пор, пока в дробной части не получится чистый нуль или же не получим требуемое количество разрядов. Записывая жирные числа (Рис.4) сверху вниз получим требуемое число в двоичной системе счисления: 0. 0011011.

Следовательно можно записать:

Пример 8. Переведем число 0.125 из десятичной системы счисления в двоичную СС.

0.125
x2
0.25
x2
0.5
x2
10.0

Для приведения числа 0.125 из десятичной СС в двоичную, данное число последовательно умножается на 2. В третьем этапе получилось 0. Следовательно, получился следующий результат:

Пример 9. Переведем число 0.214 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную СС.

0.214
x16
30.424
x16
60.784
x16
120.544
x16
80.704
x16
110.264
x16
40.224

Следуя примерам 4 и 5 получаем числа 3, 6, 12, 8, 11, 4. Но в шестнадцатеричной СС числам 12 и 11 соответствуют числа C и B. Следовательно имеем:

Пример 10. Переведем число 0.512 из десятичной системы счисления в восьмеричную СС.

0.512
x8
40.096
x8
0.768
x8
60.144
x8
10.152
x8
10.216
x8
10.728

Пример 11. Переведем число 159.125 из десятичной системы счисления в двоичную СС. Для этого переведем отдельно целую часть числа (Пример 4) и дробную часть числа (Пример 8). Далее объединяя эти результаты получим:

Пример 12. Переведем число 19673.214 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную СС. Для этого переведем отдельно целую часть числа (Пример 6) и дробную часть числа (Пример 9). Далее объединяя эти результаты получим:

Сложение, умножение и деление чисел в различных системах счисления

Калькулятор чисел в различных системах счисления.

Сложение, вычитание, умножение и деление чисел столбиком. Причём числа могут быть введены в различных системах счисления.

  • Калькулятор
  • Инструкция
  • Теория
  • История
  • Сообщить о проблеме

Вы ввели числа в различных системах счисления. Однако в расчете могут участвовать числа только в одинаковых системах счисления. Мы переведём второе число 138 в 2-ричную систему счисления вот так:

Выполним перевод в десятичную систему счисления вот так:

Переведем число 1110 в двоичное вот так:

Целая часть числа находится делением на основание новой системы счисления:

112
-1052
1-422
1-2 1

В результате преобразования получилось:

....
+11
111
1

Этот калькулятор умеет осуществлять простейшие арифметические операции над числами. Причем числа могут быть введены в разных системах счисления.

После проведения расчета нажмите на кнопочку “Расчет не верен” если Вы обнаружили ошибку. Или нажмите “расчет верный” если ошибок нет.

Данный онлайн калькулятор умеет переводить числа из одной системы счисления в любую другую, показывая подробный ход решения.

Калькулятор для перевода из мегабит в мегабайты или из килобит в килобайты, а также из бит в байты. Калькулятор переводит скорость интернета в реально возможный переданный объем данных.

Счет в различных системах счисления

Сложение в системах счисления

Как мы складываем в десятичной системе счисления?

Давайте вспомним о том, как мы складываем числа уже привычным нам способом, в десятичной системе счисления.

Самое главное стоит понять разряды. Вспомните алфавит каждой СС и тогда вам станет легче.

Сложение в двоичной системе счисления

Сложение в двоичной системе ничем не отличается от сложения в десятичной системе. Главное помнить, алфавит содержит всего две цифры: 0 и 1. Поэтому когда мы складываем 1 + 1, то получаем 0, и увеличиваем число еще на 1 разряд. Посмотрите на пример выше:

  1. Начинаем складывать как и привыкли справа налево. 0 + 0 = 0, значит записываем 0. Переходим к следующему разряду.
  2. Складываем 1 + 1 и получаем 2, но 2 нет в двоичной системе счисления, а значит мы записываем 0, а 1 добавляем к следующему разряду.
  3. У нас получается в этом разряде три единицы складываем 1 + 1 + 1 = 3, этой цифры также быть не может. Значит 3 – 2 = 1. И 1 добавляем к следующему разряду.
  4. У нас вновь получается 1 + 1 = 2. Мы уже знаем, что 2 быть не может, значит записываем 0, а 1 добавляем к следующему разряду.
  5. Складывать больше нечего, значит в ответе получаем: 10100.

Один пример мы разобрали, второй решите самостоятельно:

Сложение в восьмеричной системе счисления

Так же как и в любых других системах счисления необходимо помнить Алфавит. Давайте попробуем сложить выражение.

  1. Все как обычно, начинаем складывать справа налево. 4 + 3 = 7.
  2. 5 + 4 = 9. Девяти быть не может, значит из 9 вычитаем 8, получаем 1. И еще 1 добавляем к следующему разряду.
  3. 3 + 7 + 1 = 11. Из 11 вычитаем 8, получаем 3. И единицу добавляем к следующему разряду.
  4. 6 + 1 = 7.
  5. Складывать далее нечего. Ответ: 7317.

А теперь проделайте сложение самостоятельно:

Сложение в шестнадцатеричной системе счисления

  1. Выполняем уже знакомые нам действия и не забываем про алфавит. 2 + 1 = 3.
  2. 5 + 9 = 14. Вспоминаем Алфавит: 14 = Е.
  3. С = 12. 12 + 8 = 20. Двадцати нет в шестнадцатеричной системе счисления. Значит из 20 вычитаем 16 и получаем 4. И единицу добавляем к следующему разряду.
  4. 1 + 1 = 2.
  5. Больше складывать нечего. Ответ: 24Е3.

Вычетание в системах счисления

Вычитание в десятичной системе счисления

Вспомним, как мы это делаем в десятичной системе счисления.

  1. Начинаем слева направо, от меньшего разряда к большему. 2 – 1 = 1.
  2. 1 – 0 = 1.
  3. 3 – 9 = ? Тройка меньше девяти, поэтому позаимствуем единицу из старшего разряда. 13 – 9 = 4.
  4. Из последнего разряда мы взяли единицу для предыдущего действия, поэтому 4 – 1 = 3.
  5. Ответ: 3411.

Вычитание в двоичной системе счисления

  1. Начинаем как обычно. 1 – 1 = 0.
  2. 1 – 0 = 1.
  3. От 0 отнять единицу нельзя. Поэтому заберем один разряд у старшего. 2 – 1 = 1.
  4. Ответ: 110.

А теперь решите самостоятельно:

Вычитание в восьмеричной системе счисления

  1. Ничего нового, главное помнить алфавит. 4 – 3 = 1.
  2. 5 – 0 = 5.
  3. От 3 отнять 7 мы сразу не можем, для этого нам необходимо заимствовать единицу у более старшего разряда. 11 – 7 = 4.
  4. Помним, что заимствовали единицу ранее, 6 – 1 = 5.
  5. Ответ: 5451.

Пример для самостоятельного решения:

Вычитание в шестнадцатеричной системе счисления

Возьмем предыдущий пример, и посмотрим каков будет результат в шестнадцатеричной системе. Такой же или другой?

  1. 4 – 3 = 1.
  2. 5 – 0 = 5.
  3. От 3 отнять 7 мы сразу не можем, для этого нам необходимо заимствовать единицу у более старшего разряда. 19 – 7 = 12. В шестнадцатеричной системе 12 = С.
  4. Помним, что заимствовали единицу ранее, 6 – 1 = 5
  5. Ответ: 5С51

Пример для самостоятельного решения:

Умножение в системах счисления

Умножение в десятичной системе счисления

Давайте запомним раз и навсегда, что умножение в любой системе счисления на единицу, всегда даст тоже самое число.

  1. Каждый разряд умножаем на единицу, как обычно справа налево, и получаем число 6748;
  2. 6748 умножаем на 8 и получаем число 53984;
  3. Проделываем операцию умножения 6748 на 3. Получаем число 20244;
  4. Складываем все 3 числа, по правилам. Получаем 2570988;
  5. Ответ: 2570988.

Умножение в двоичной системе счисления

В двоичной системе умножать очень легко. Мы всегда умножаем либо на 0, либо на единицу. Главное, это внимательно складывать. Давайте попробуем.

  1. 1101 умножаем на единицу, как обычно справа налево, и получаем число 1101;
  2. Проделываем эту операцию еще 2 раза;
  3. Складываем все 3 числа внимательно, помним про алфавит, не забывая про лесенку;
  4. Ответ: 1011011.

Пример для самостоятельного решения:

Умножение в восьмеричной системе счисления

Есть небольшой лайфхак, как считать в восьмеричной системе. Давайте рассмотрим на примере:

  1. 5 х 4 = 20. А 20 = 2 х 8 + 4. Остаток от деления записываем в число – это будет 4, а 2 держим в уме. Проделываем эту процедуру справа налево и получаем число 40234;
  2. При умножении на 0, получаем четыре 0;
  3. При умножении на 7, у нас получается число 55164;
  4. Теперь складываем числа и получаем – 5556634;
  5. Ответ: 5556634.

Пример для самостоятельного решения:

Умножение в шестнадцатеричной системе счисления

Все как обычно, главное вспомните алфавит. Буквенные цифры, для удобства переводите в привычную для себя систему счисления, как умножите, переводите обратно в буквенное значение.

Давайте для наглядности разберем умножение на 5 числа 20А4.

  1. 5 х 4 = 20. А 20 = 16 + 4. Остаток от деления записываем в число – это будет 4, а 1 держим в уме.
  2. А х 5 + 1 = 10 х 5 + 1 = 51. 51 = 16 х 3 + 3. Остаток от деления записываем в число – это будет 3, а 3 держим в уме.
  3. При умножении на 0, получаем 0 + 3 = 3;
  4. 2 х 5 = 10 = А; В итоге у нас получается А334; Проделываем эту процедуру с двумя другими числами;
  5. Помним правило умножения на 1;
  6. При умножении на В, у нас получается число 1670С;
  7. Теперь складываем числа и получаем – 169В974;
  8. Ответ: 169В974.

Пример для самостоятельного решения:

Деление в системах счисления

С делением все так же, как и в привычной нам десятичной системе счисления.

Деление в двоичной системе счисления

В двоично системе счисления делить гораздо приятней, чем в десятичной системе. Потому что в десятичной надо угадывать числа и постоянно умножать, чтобы у нас получилось нужное значение. А в двоичной системе на какое еще число кроме единицы необходимо умножить, чтобы получить нужное значение? Правильно, ни на какое.

  1. Сколько в 101 получится 11? Правильно, 1. 101 – 11 = 10;
  2. 100 / 11? Так же 1 раз 11 поместится в 100. 100 – 11 = 1;
  3. 11 / 11 = 1, в остатке 0;
  4. Ответ: 111.

Деление в восьмеричной системе счисления

  1. 46 меньше 53, значит делить будем 462. Надо угадать сколько раз число 53 поместиться? Угадываем 7 и записываем;
  2. 53 / 53 = 1. Записываем к ответу, в остатке у нас 0;
  3. Последний 0 мы так же записываем к ответу, так как делить больше нечего;
  4. Ответ: 710.

Деление в шестнадцатеричной системе счисления

Осталось самое страшное – это научиться делить в шестнадцатеричной системе. Да прибудет с нами сила.

  1. 4С мы должны поделить на 2В. Методом подбора определяем что умножить можем только 1 раз. 4С – 2В = 21 и единицу записываем в ответ;
  2. Также методом подбора определяем, что 2В, мы можем умножить на С. 219 – 204 = 15;
  3. Опять, методом подбора определяем, что это 8. 158 – 158 = 0, решение закончено;
  4. Ответ: 1С8.

Перевод чисел из одной системы счисления в любую другую онлайн

Для перевода чисел из десятичной с/с в любую другую, необходимо делить десятичное число на основание системы, в которую переводят, сохраняя при этом остатки от каждого деления. Результат формируется справа налево. Деление продолжается до тех пор, пока результат деления не станет меньше делителя.

Калькулятор переводит числа из одной системы счисления в любую другую. Он может переводить числа из двоичной в десятичную или из десятичной в шестнадцатеричную, показывая подробный ход решения. Вы с легкостью можете перевести число из троичной в пятеричную или даже из семеричной в семнадцатеричную. Калькулятор умеет переводить числа из любой системы счисления в любую другую.

Онлайн калькулятор перевода чисел из одной системы счисления в любую другую

Способы перевода чисел из одной системы счисления в другую

В программу ЕГЭ по информатике входят несколько задач, связанных с переводом чисел из одной системы в другую. Как правило, это преобразование между 8- и 16-ричными системами и двоичной. Это разделы А1, В11. Но есть и задачи с другими системами счисления, как например, в разделе B7.

Для начала напомним две таблицы, которые хорошо бы знать наизусть тем, кто выбирает информатику своей дальнейшей профессией.

Таблица степеней числа 2:

2 12 22 32 42 52 62 72 82 92 10
2481632641282565121024

Она легко получается умножением предыдущего числа на 2 . Так, что если помните не все эти числа, остальные нетрудно получить в уме из тех, которые помните.

Таблица двоичных чисел от 0 до 15 c 16-ричным представлением:

123456789101112131415
0000000100100011010001010110011110001001101010111100110111101111
123456789ABCDEF

Недостающие значения тоже нетрудно вычислить, прибавляя по 1 к известным значениям.

Арифметические операции в двоичной системе счисления

При сложении двух чисел, равных 1, в данном разряде получается 0, а 1-ца переносится в старший разряд.

Перевод целых чисел

Итак, начнем с перевода сразу в двоичную систему. Возьмём то же число 81010 . Нам нужно разложить это число на слагаемые, равные степеням двойки.

  1. Ищем ближайшую к 810 степень двойки, не превосходящую его. Это 2 9 = 512 .
  2. Вычитаем 512 из 810 , получаем 298 .
  3. Повторим шаги 1 и 2 , пока не останется 1 или 0 .
  4. У нас получилось так: 810 = 512 + 256 + 32 + 8 + 2 = 2 9 + 2 8 + 2 5 + 2 3 + 2 1 .

Далее есть два способа, можно использовать любой из них. Как легко увидеть, что в любой системе счисления её основание всегда 10 . Квадрат основания всегда будет 100 , куб 1000 . То есть степень основания системы счисления — это 1 (единица), и за ней столько нулей, какова степень.

Способ 1: Расставить 1 по тем разрядам, какие получились показатели у слагаемых. В нашем примере это 9, 8, 5, 3 и 1. В остальных местах будут стоять нули. Итак, мы получили двоичное представление числа 81010 = 11001010102 . Единицы стоят на 9-м, 8-м, 5-м, 3-м и 1-м местах, считая справа налево с нуля.

Способ 2: Распишем слагаемые как степени двойки друг под другом, начиная с большего.

2 9 =1000000000(1 и девять нулей) +
2 8 =100000000(1 и восемь нулей) +
2 5 =100000(1 и пять нулей) +
2 3 =1000(1 и три нуля) +
2 1 =10(1 и один ноль)

А теперь сложим эти ступеньки вместе, как складывают веер: 1100101010 .

Вот и всё. Попутно также просто решается задача «сколько единиц в двоичной записи числа 810?».

Ответ — столько, сколько слагаемых (степеней двойки) в таком его представлении. У 810 их 5.

Теперь пример попроще.

Переведём число 63 в 5-ричную систему счисления. Ближайшая к 63 степень числа 5 — это 25 (квадрат 5). Куб (125) будет уже много. То есть 63 лежит между квадратом 5 и кубом. Тогда подберем коэффициент для 5 2 . Это 2.

Получаем 6310 = 50 + 13 = 50 + 10 + 3 = 2 * 5 2 + 2 * 5 + 3 = 2235 .

Ну и, наконец, совсем лёгкие переводы между 8- и 16-ричными системами. Так как их основанием является степень двойки, то перевод делается автоматически, просто заменой цифр на их двоичное представление. Для 8-ричной системы каждая цифра заменяется тремя двоичными разрядами, а для 16-ричной четырьмя. При этом все ведущие нули обязательны, кроме самого старшего разряда.

Переведем в двоичную систему число 5478.

5478=101100111
547

Ещё одно, например 7D6A16.

7D6A16=(0)111110101101010
7D6A

Переведем в 16-ричную систему число 7368. Сначала цифры запишем тройками, а потом поделим их на четверки с конца: 7368 = 111 011 110 = 1 1101 1110 = 1DE16 . Переведем в 8-ричную систему число C2516. Сначала цифры запишем четвёрками, а потом поделим их на тройки с конца: C2516 = 1100 0010 0101 = 110 000 100 101 = 60458 . Теперь рассмотрим перевод обратно в десятичную. Он труда не представляет, главное не ошибиться в расчётах. Раскладываем число на многочлен со степенями основания и коэффициентами при них. Потом всё умножаем и складываем. E6816 = 14 * 16 2 + 6 * 16 + 8 = 3688 . 7328 = 7 * 8 2 + 3*8 + 2 = 474 .

Перевод отрицательных чисел

Здесь нужно учесть, что число будет представлено в дополнительном коде. Для перевода числа в дополнительный код нужно знать конечный размер числа, то есть во что мы хотим его вписать — в байт, в два байта, в четыре. Старший разряд числа означает знак. Если там 0 , то число положительное, если 1 , то отрицательное. Слева число дополняется знаковым разрядом. Беззнаковые (unsigned) числа мы не рассматриваем, они всегда положительные, а старший разряд в них используется как информационный.

Для перевода отрицательного числа в двоичный дополнительный код нужно перевести положительное число в двоичную систему, потом поменять нули на единицы и единицы на нули. Затем прибавить к результату 1 .

Итак, переведем число -79 в двоичную систему. Число займёт у нас один байт.

Переводим 79 в двоичную систему, 79 = 1001111 . Дополним слева нулями до размера байта, 8 разрядов, получаем 01001111 . Меняем 1 на 0 и 0 на 1 . Получаем 10110000 . К результату прибавляем 1 , получаем ответ 10110001 .

Попутно отвечаем на вопрос ЕГЭ «сколько единиц в двоичном представлении числа -79?».

Прибавление 1 к инверсии числа позволяет устранить разницу между представлениями +0 = 00000000 и -0 = 11111111 . В дополнительном коде они будут записаны одинаково 00000000.

Перевод дробных чисел

Дробные числа переводятся способом, обратным делению целых чисел на основание, который мы рассмотрели в самом начале. То есть при помощи последовательного умножения на новое основание с собиранием целых частей. Полученные при умножении целые части собираются, но не участвуют в следующих операциях. Умножаются только дробные. Если исходное число больше 1 , то целая и дробная части переводятся отдельно, потом склеиваются.

Переведем число 0,6752 в двоичную систему.

,6752
*2
1,3504
*2
,7008
*2
1,4016
*2
,8032
*2
1,6064
*2
1,2128

Процесс можно продолжать долго, пока не получим все нули в дробной части или будет достигнута требуемая точность. Остановимся пока на 6-м знаке.

Получается 0,6752 = 0,101011 .

Если число было 5,6752 , то в двоичном виде оно будет 101,101011 .

Нужно перевести число 81010 в двоичную систему

Читайте также:  Vcore loadline calibration что это
Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector